アニメーション
-- Animation --


T.2重振り子 -- Double Pendulum --

2重振り子はカオスの挙動を示す 保存系(ハミルトン系)としてよく知られている. この振り子は2本の棒と2個の錘からなり, 支点が固定された第1の振り子の先に第2の振り子をつなげた2重の構造になっている. 第1振り子の錘が円周から外れることはないが, 第2振り子の錘は円周を離れて平面上をかなり自由に動き回ることができる. 初期状態として,適当な位置まで錘を持ち上げてから離すと, 2個の錘は微妙に位置や速度を変えながら極めて複雑な動きを示す. 保存系においては 散逸系のように ストレンジアトラクタが形成されることはない.
 第1,第2振り子の棒の長さと錘の質量をL1,m1,L2,m2,重力定数をgとし, 2つの振り子が鉛直方向となす角をそれぞれθ1,θ2によって表す. さらに
  μ2=m2/(m1+m2),L21=(L2)/(L1),(ω1)^2=g/(L1),(ω2)^2=g/(L2)
  f1=-(μ2)*(L21)*(α2)^2*sin(θ1-θ2)-(ω1)^2*sin(θ1)
  f2=(1/(L21))*(α1)^2*sin(θ1-θ2)-(ω2)^2*sin(θ2)
  D=1-(μ2)*cos^2(θ1-θ2)
のような置き換えを行ってから導いた運動方程式が次の4つである.
  d(θ1)/dt=α1
  d(θ2)/dt=α2
  d(α1)/dt=(f1-(μ2)*(L21)*cos(θ1-θ2)*f2)/D
  d(α2)/dt=(-cos(θ1-θ2)/(L21)*f1+f2)/D
さらに,この連立微分方程式をルンゲ=クッタ法によって近似すると, 精度の高い2重振り子の軌跡を描くことができる. なお,このプログラムの原型は故長島弘幸氏による.

アプレットの開始

U.バネ振り子 -- Spring Pendulum --

バネ振り子は錘を吊るす棒に曲がらないが伸縮するバネを使った振り子で, 先の2重振り子と同様,その挙動はカオスとなる. 1つだけの振り子からなる単純な構造なので,2重振り子よりも解析は容易である.
 錘の質量をm,バネ定数をk,バネの自然長をL,重力定数をgとし, バネの伸びをx,振り子が鉛直方向となす角をθによって表すと, この系の運動方程式は次の4つの式によって与えられる.
  dx/dt=v
  dθ/dt=α
  dv/dt=(L+x)*α^2+g*cosθ-k/m*x
  dα/dt=-(2*v*α+g*sinθ)/(L+x)

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V.単純化された3体問題 -- Simplified 3-Body Problem --

この3体問題は質量の異なる3個の物体(シミュレーションでは質量の大きいほうから順に青,水色,黄色)からなり, 次のような条件が課せられている.
(1) 最も質量の小さい物体は十分に軽く,他の2つの物体に影響を与えない.
(2) 質量が大きいほうの2つの物体は互いに重心の回りを円運動する.
(3) 3つの物体は平面上に存在する.
 このように簡略化された条件においても,初期状態を適当に設定すると, 最も軽い物体は重い2つの物体に交互に引き寄せられながら,カオス的運動を繰り広げる. シミュレーションにおいて,重い2つの物体の位置は固定されている.

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W.ライフゲーム -- Life Game --

ライフゲームは1970年にイギリスのジョン・ホートン・ コンウェイによって考案された2次元セルオートマトンである. すべてのセルは1または0の状態にあり,その周囲に8個の隣接セルを持っている. そして,次世代セルの状態は次の規則によって決定される.
(1) 隣接セルのうちの2個が1であれば状態を変えない.
(2) 隣接セルのうちの3個が1であれば1になる.
(3) 上記以外のときは0になる.
 初期状態として適当に0と1を配置してからライフゲームを実行すると, 消滅するパターンもあるが,固定物体,振動子,移動物体などの特別な終局状態に至るものもある. 固定物体は時間的に変化しないパターン,振動子は周期的に変化するパターン, 移動物体は2次元セル上を一定方向に移動するパターンである. 移動物体は障害物がなければそのまま飛行を続けるが,何かに衝突すると, 消滅したり固定物体に凝固したりする.

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ギャラリー
カオス&フラクタル術語集